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- 4.1、(洛谷p1129) [zjoi2007]矩阵游戏
- 4.2、(vijos1204) covh之柯南开锁
- 4.3、(tyvj p1035) 棋盘覆盖
一、匈牙利算法介绍
匈牙利算法(hungarian algorithm)主要用于解决一些与二分图匹配有关的问题,所以我们先来了解一下二分图。
二分图(bipartite graph)是一类特殊的图,它可以被划分为两个部分,每个部分内的点互不相连。下图是典型的二分图。
可以看到,在上面的二分图中,每条边的端点都分别处于点集x和y中。匈牙利算法主要用来解决两个问题:求二分图的最大匹配数和最小点覆盖数。
这么说起来过于抽象了,我们现在从实际问题出发。
二、最大匹配问题
看完上面讲的,相信读者会觉得云里雾里的:这是啥?这有啥用?所以我们把这张二分图稍微做点手脚,变成下面这样:
现在boys和girls分别是两个点集,里面的点分别是男生和女生,边表示他们之间存在“暧昧关系”。最大匹配问题相当于,假如你是红娘,可以撮合任何一对有暧昧关系的男女,那么你最多能成全多少对情侣?(数学表述:在二分图中最多能找到多少条没有公共端点的边)
现在我们来看看匈牙利算法是怎么运作的:
我们从b1看起(男女平等,从女生这边看起也是可以的),他与g2有暧昧,那我们就先暂时把他与g2连接(注意这时只是你作为一个红娘在纸上构想,你没有真正行动,此时的安排都是暂时的)。
来看b2,b2也喜欢g2,这时g2已经“名花有主”了(虽然只是我们设想的),那怎么办呢?我们倒回去看g2目前被安排的男友,是b1,b1有没有别的选项呢?有,g4,g4还没有被安排,那我们就给b1安排上g4。
然后b3,b3直接配上g1就好了,这没什么问题。至于b4,他只钟情于g4,g4目前配的是b1。b1除了g4还可以选g2,但是呢,如果b1选了g2,g2的原配b2就没得选了。我们绕了一大圈,发现b4只能注定单身了,可怜。(其实从来没被考虑过的g3更可怜)
这就是匈牙利算法的流程,至于具体实现,我们来看看代码:
int m, n; //m, n分别表示左、右侧集合的元素数量 int map[maxm][maxn]; //邻接矩阵存图 int p[maxn]; //记录当前右侧元素所对应的左侧元素 bool vis[maxn]; //记录右侧元素是否已被访问过 bool match(int i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) if (map[i][j] && !vis[j]) //有边且未访问 { vis[j] = true; //记录状态为访问过 if (p[j] == 0 || match(p[j])) //如果暂无匹配,或者原来匹配的左侧元素可以找到新的匹配 { p[j] = i; //当前左侧元素成为当前右侧元素的新匹配 return true; //返回匹配成功 } } return false; //循环结束,仍未找到匹配,返回匹配失败 } int hungarian() { int cnt = 0; for (int i = 1; i <= m; ++i) { memset(vis, 0, sizeof(vis)); //重置vis数组 if (match(i)) cnt++; } return cnt; }
其实流程跟我们上面描述的是一致的。注意这里使用了一个递归的技巧,我们不断往下递归,尝试寻找合适的匹配。
三、最小点覆盖问题
另外一个关于二分图的问题是求最小点覆盖:我们想找到最少的一些点,使二分图所有的边都至少有一个端点在这些点之中。倒过来说就是,删除包含这些点的边,可以删掉所有边。
这为什么用匈牙利算法可以解决呢?你如果以为我要长篇大论很久就错了,我们只需要一个定理:
(könig定理)
一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。
好了,本节可以结束了,我们不是搞数学的,不需要证明。但是提供一个直观地找最小覆盖点集的方法:看题图,从左侧一个未匹配成功的点出发,走一趟匈牙利算法的流程(即紫色的箭头),所有左侧未经过的点,和右侧经过的点,即组成最小点覆盖。(即图中的b3、g2、g4)
对于每个左部节点,寻找增广路最多遍历整张二分图一次,因此,该算法时间复杂度为o(mn)
四、匈牙利算法的应用
一些题目,乍一看与上面这个男女配对的问题没有任何相似点,其实都可以用匈牙利算法。例如:
4.1、(洛谷p1129) [zjoi2007]矩阵游戏
题目描述
小q是一个非常聪明的孩子,除了国际象棋,他还很喜欢玩一个电脑益智游戏――矩阵游戏。矩阵游戏在一个$ n× n $ 黑白方阵进行(如同国际象棋一般,只是颜色是随意的)。每次可以对该矩阵进行两种操作:
行交换操作:选择矩阵的任意两行,交换这两行(即交换对应格子的颜色)
列交换操作:选择矩阵的任意两列,交换这两列(即交换对应格子的颜色)
游戏的目标,即通过若干次操作,使得方阵的主对角线(左上角到右下角的连线)上的格子均为黑色。
对于某些关卡,小q百思不得其解,以致他开始怀疑这些关卡是不是根本就是无解的!于是小q决定写一个程序来判断这些关卡是否有解。
输入格式
第一行包含一个整数t,表示数据的组数。
接下来包含t组数据,每组数据第一行为一个整数n,表示方阵的大小;接下来n行为一个 $ n× n $的01矩阵(0表示白色,1表示黑色)。
输出格式
包含t行。对于每一组数据,如果该关卡有解,输出一行yes;否则输出一行no。
我们把矩阵转化为二分图(左侧集合代表各行,右侧集合代表各列,某位置为1则该行和该列之间有边)。我们想进行一系列交换操作,使得x1连上y1,x2连上y2,……
大家可以想象,所谓的交换,是不是可以等价为重命名?我们可以在保持当前二分图结构不变的情况下,把右侧点的编号进行改变,这与交换的效果是一样的。
所以想让x1、x2…与y1、y2…一一对应,其实只需要原图最大匹配数为4就行了。(这与组合数学中相异代表系的概念相合)。代码如下:
#include <cstdio> #include <cstring> int map[205][205], p[205], vis[205], n, t; bool match(int i){ for (int j = 1; j <= n; ++j){ if (map[i][j] && !vis[j]){ vis[j] = 1; if (p[j] == 0 || match(p[j])){ p[j] = i; return true; } } } return false; } int hungarian(){ int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i){ memset(vis, 0, sizeof(vis)); if (match(i)) cnt++; } return cnt; } int main(){ scanf("%d", &t); while (t--){ scanf("%d", &n); memset(p, 0, sizeof(p)); for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) scanf("%d", &map[i][j]); puts(hungarian() == n ? "yes" : "no"); } return 0; }
4.2、(vijos1204) covh之柯南开锁
面对oibh组织的嚣张气焰, 柯南决定深入牛棚, 一探虚实.
他经过深思熟虑, 决定从oibh组织大门进入………..
oibh组织的大门有一个很神奇的锁.
锁是由m*n个格子组成, 其中某些格子凸起(灰色的格子). 每一次操作可以把某一行或某一列的格子给按下去.
如果柯南能在组织限定的次数内将所有格子都按下去, 那么他就能够进入总部. 但是oibh组织不是吃素的, 他们的限定次数恰是最少次数.
请您帮助柯南计算出开给定的锁所需的最少次数.
读入/input:
第一行 两个不超过100的正整数n, m表示矩阵的长和宽
以下n行 每行m个数 非0即1 1为凸起方格输出/output:
一个整数 所需最少次数
如果我们把样例的矩阵,转化为二分图的形式,是这样的:
按下一行或一列,其实就是删掉与某个点相连的所有边。现在要求最少的操作次数,想想看,这不就是求最小点覆盖数吗?所以直接套匈牙利算法即可。代码略。
4.3、(tyvj p1035) 棋盘覆盖
描述 description
给出一张nn(n<=100)的国际象棋棋盘,其中被删除了一些点,问可以使用多少12的多米诺骨牌进行掩盖。
输入格式 input format
第一行为n,m(表示有m个删除的格子)
第二行到m+1行为x,y,分别表示删除格子所在的位置
x为第x行
y为第y列
输出格式 output format
一个数,即最大覆盖格数
经典的多米诺覆盖问题大家都很熟悉,我们把棋盘染色,每个多米诺骨牌恰好覆盖一个白格和一个黑格(这里为了美观染成了其他颜色,下面仍将其称作黑格)。
我们删除了一些格子:
现在要求多米诺骨牌最大覆盖数。
你可能已经看出来了,我们在染色之后,黑格和白格可以构成一个二分图,每个白格都只和黑格相连,每个黑格也只和白格相连。在给所有黑格和白格编号后,我们把每个未删除的格子都与它上下左右紧邻的未删除的格子相连。很显然,这张二分图的最大匹配数,就是我们能放下最多的多米诺骨牌数。注意因为数据范围较大,要用邻接表存图。
#include <cstdio> #include <cstring> #define maxn 5500 struct edges { int to, next; } edges[maxn * 8]; int map[105][105], head[maxn], p[maxn], vis[maxn], n, cnt_edge; inline int add(int from, int to) { edges[++cnt_edge].next = head[from]; head[from] = cnt_edge; edges[cnt_edge].to = to; } inline int trans(int i, int j, int n) //把坐标转化为编号 { return ((i - 1) * n + j + 1) / 2; } bool match(int i) { for (int e = head[i]; e; e = edges[e].next) { int j = edges[e].to; if (!vis[j]) { vis[j] = true; if (p[j] == 0 || match(p[j])) { p[j] = i; return true; } } } return false; } int hungarian() { int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { memset(vis, 0, sizeof(vis)); if (match(i)) cnt++; } return cnt; } int main() { int n, m, x, y; scanf("%d%d", &n, &m); n = (n * n + 1) / 2; memset(map, -1, sizeof(map)); for (int i = 1; i <= n; ++i) for (int j = 1; j <= n; ++j) map[i][j] = 0; for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d%d", &x, &y); map[x][y] = -1; } for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = i % 2 ? 1 : 2; j <= n; j += 2) if (map[i][j] == 0) { if (map[i + 1][j] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i + 1, j, n)); if (map[i][j + 1] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i, j + 1, n)); if (map[i - 1][j] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i - 1, j, n)); if (map[i][j - 1] != -1) add(trans(i, j, n), trans(i, j - 1, n)); } printf("%dn", hungarian()); return 0; }
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