题目:https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466
题意:假设你有m元,已经pi,qi,vi(i为角标,1<i<n),当m>qi,时才能购买该商品,得到价值vi,问得到的最大的价值。
思路:知道是变形的01背包问题,但是思考了很久不知道怎么解决,于是看了好几种不同款式的大佬的代码和证明才看懂,如下是自己写的证明:
如果不改变,直接用01背包的话呢,就是:
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=v;j>=a[i].q,j–)
dp[i]=max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);
这个dp使用前是没有对商品排序的,就是商品的购买顺序本该对他没影响,但是在本题中购买a->b,和购买b->a,是不一样的,
假设有两组数据:
2 m
a:p1,q1,v1
b:p2,q2,v2
a->b 需要的背包容量:p1+q2
b->a 需要的背包容量:p2+q1
自然我们需要剩下背包的容量更大的方案进行购买,及如果a->b,就有:p1+q2<p2+q1 移项为 q1-p1>q2-p2,也就是说我们每次选择时都希望购买 q-p更大的商品;
但是对应我们的dp:
for(i = 0;i<n;i++)
for(j = m;j>=a[i].q;j–)
dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);
实质是:当满足j>=a[i].q时,就马上确定购买物品i,然后再用剩下的j-a[i].p去购买最大价值,i的购买顺序是先于j-a[i].p的,所以dp的顺序就希望从q-p小的先dp,
于是用sort排序,由于默认是升序,但是本题中:
sort(a,a+n)会出错,因为有a.p,a.q.a.v,a.ca,多个a,会不知道是哪一个a作为首地址,a+n作为尾地址。
于是先写下:
bool cmp(note a,note b)
{
return a.ca < b.ca;
}
再
sort(a,a+n,cmp)
就知道是a.ca了
代码:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[5010];
struct note
{
int p,q,v;
int ca;
} a[510];
bool cmp(note a,note b)
{
return a.ca < b.ca;
}
int main()
{
int n,m,i,j;
while(~scanf(“%d%d”,&n,&m))
{
for(i = 0;i<n;i++)
{
scanf(“%d%d%d”,&a[i].p,&a[i].q,&a[i].v);
a[i].ca = a[i].q-a[i].p;
}
sort(a,a+n,cmp);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i = 0;i<n;i++)
for(j = m;j>=a[i].q;j–)
dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);
printf(“%dn”,dp[m]);
}
}
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