题意
求$(sqrt{2} + sqrt{3})^{2n} pmod {1024}$
$n leqslant 10^9$
sol
看到题解的第一感受：这玩意儿也能矩阵快速幂？？？
是的，它能qwq。。。。
首先我们把$2$的幂乘进去，变成了
$(5 + 2sqrt{6})^n$
设$f(n) = a_n + sqrt{6} b_n$
那么$f(n+1) = (a_n + sqrt{6} b_n ) * (5 + 2sqrt{6})$
乘出来得到
$a_{n + 1} = 5 a_n + 12 b_n$
$b_{n + 1} = 2a_n + b b_n$
那么不难得到转移矩阵
$$begin{pmatrix} 5 & 12 \ 2 & 5 end{pmatrix}$$
这样好像就能做了。。
但是实际上后我们最终会得到一个类似于$a_n + sqrt{6}b_n$的东西，这玩意儿还是不能取模
考虑如何把$sqrt{6}$的影响消掉。
$(5 + 2 sqrt{6})^n = a_n + sqrt{6}b_n$
$(5 – 2 sqrt{6})^n = a_n – sqrt{6}b_n$
相加得
$(5 + 2 sqrt{6})^n + (5 – 2 sqrt{6})^n = 2a_n$
考虑到$0 < (5 – 2sqrt{6})^n < 1$
那么
$$lfloor (5 + 2sqrt{6})^n rfloor = 2a_n – 1$$
做完啦qwq
#include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #define pair pair<int, int> #define mp(x, y) #define fi first #define se second // #include<map> using namespace std; #define ll long long const ll maxn = 101, mod = 1024; inline ll read() { char c = getchar(); ll x = 0, f = 1; while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();} while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * f; } int t, n; struct matrix { ll m[5][5], n; matrix() {n = 2; memset(m, 0, sizeof(m));} matrix operator * (const matrix &rhs) const { matrix ans; for(int k = 1; k <= n; k++) for(int i = 1; i <= n; i++) for(int j = 1; j <= n; j++) (ans.m[i][j] += 1ll * m[i][k] * rhs.m[k][j] % mod) % mod; return ans; } }; matrix fp(matrix a, int p) { matrix base; base.m[1][1] = 1; base.m[2][2] = 1; while(p) { if(p & 1) base = base * a; a = a * a; p >>= 1; } return base; } int main() { t = read(); while(t--) { n = read(); matrix a; a.m[1][1] = 5; a.m[1][2] = 12; a.m[2][1] = 2; a.m[2][2] = 5; a = fp(a, n - 1); ll ans = (5 * a.m[1][1] + 2 * a.m[1][2]) % mod; printf("%i64dn", (2 * ans - 1) % mod); } return 0; } /**/
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