算法描述:
kruskal算法是按权值递增的次序来构造最小生成树的方法。
假设g(v,e)最一个具有n个顶点的连通网,顶点集v={v1,v2,….,vn}。设所求的最小生成树为t={u,te},其中u是t的顶点集,te是t的边集,u和te的初始值为空集。kruskal算法的基本思想如下:将最小生成树初始化为t=(v,te),仅包含 g的全部顶点,不包含g的任一条边,此时,t由n 个连通分量组成,每个分量只有一个顶点;将图中g中的边按权值从小到大排序,选择代价最小了一条边,若该边所依附的顶点分属于t中的不同的连通分量,则将此边加入到te中,否则,舍弃此边而选择下一条代价最小的边。依次类推,直至te中包含n-1条边(即t中所有的顶点都在同一连通分量上)为止。
算法实现:
设置一个edge数组存储连通网中所有的边,为了便于选择当前权值最小的边,需要将edge中的边按权值从小到大进行排列。
而在连通分量的合并上,可以采用集合的合并方法,对于有n个顶点的连通网,设置一个数组father[0…n-1],其初始值为-1,表示n个顶点在不同的连通分量上。然后,依次扫描edge数组中的每一条边,并查找相关联的两个顶点所属的连通分量,假设vf1和vf2为两个顶点的所在树的根节点的序号,若vf1不等于vf2,则表明这条边的两个顶点不属于同一个连通分量,则将这条边作为最小生成树的边并输出,然后合并它们所属的两个连通分量。
算法代码:
int findfather(int father[],int v){ int t = v; while(father[t] != -1) t = father[t]; return t; } /* * *kruskal算法求最小生成树 * */ void kruskal_mg(mgraph mg,edge edge[]){ int father[max_vex_num]; int i,count,vf1,vf2; // 初始化father数组 for(i = 0;i < max_vex_num;i++){ father[i] = -1; } i = 0; count = 0; // 统计加入最小生树中的边数 // 遍历任意两个结点之间的边 while(i < mg.arcnum && count < mg.arcnum){ vf1 = findfather(father,edge[i].start); vf2 = findfather(father,edge[i].end); // 如果这两个节点不属于同一个连通分量,则加入同一个连通分量 if (vf1 != vf2){ father[vf2] = vf1; count++; printf(%c,%c,%d ,mg.vexs[edge[i].start],mg.vexs[edge[i].end],edge[i].cost); } i++; } }
其中,函数findfather的作用就是找指定节点所属的连通分量,在这里也就是找其所在树的根节点在数组中的序号。
算法说明:
对于带权图g中e条边的权值的排序方法可以有多种,这里采用的是最简单的冒泡排序法,时间复杂度为o(n^2)。而判断新选择的边的两个顶点是否在同一个连通分量中,这个问题等价于一个在最多有n 个顶点的生成树中遍历寻找新选择的边的两个节点是否存在的问题,所以此算法的复杂度最坏情况下是o(n^2)。
注意:一般来讲,prim算法的时间复杂度为o(n^2),因此适合于稠密图,而kruskal算法需要对e条边进行排序,最快的情况下复杂度为o(elog2e),因此对于稀疏图,采用kruskal算法比较合适。
完整代码:
/* * ===================================================================================== * * filename: kruskal.c * * description: 最小生成树之kruskal算法 * * version: 1.0 * created: 2015年05月06日 21时25分12秒 * revision: none * compiler: gcc * * author: jesson20121020 (), 997287955@qq.com * organization: * * ===================================================================================== */ #include #include #define max_vex_num 50 #define max_arc_num 100 #define un_reach 1000 typedef char vertextype; typedef enum { dg, udg } graphtype; typedef struct { vertextype vexs[max_vex_num]; int arcs[max_vex_num][max_vex_num]; int vexnum, arcnum; graphtype type; } mgraph; /** * 根据名称得到指定顶点在顶点集合中的下标 * vex 顶点 * return 如果找到,则返回下标,否则,返回0 */ int getindexofvexs(char vex, mgraph *mg) { int i; for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) { if (mg->vexs[i] == vex) { return i; } } return 0; } /** * 创建邻接矩阵 */ void create_mg(mgraph *mg) { int i, j, k,weight; int v1, v2, type; char c1, c2; printf(please input graph type dg(0) or udg(1) :); scanf(%d, &type); if (type == 0) mg->type = dg; else if (type == 1) mg->type = udg; else { printf(please input correct graph type dg(0) or udg(1)!); return; } printf(please input vexmun : ); scanf(%d, &mg->vexnum); printf(please input arcnum : ); scanf(%d, &mg->arcnum); getchar(); for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) { printf(please input %dth vex(char):, i); scanf(%c, &mg->vexs[i]); getchar(); } //初始化邻接矩阵 for (i = 1; i <= mg->vexnum; i++) { for (j = 1; j <= mg->vexnum; j++) { if(i == j) mg->arcs[i][j] = 0; else mg->arcs[i][j] = un_reach; } } //输入边的信息,建立邻接矩阵 for (k = 1; k <= mg->arcnum; k++) { printf(please input %dth arc v1(char) v2(char) weight(int): , k); scanf(%c %c %d, &c1, &c2,&weight); v1 = getindexofvexs(c1, mg); v2 = getindexofvexs(c2, mg); if (mg->type == 1) mg->arcs[v1][v2] = mg->arcs[v2][v1] = weight; else mg->arcs[v1][v2] = weight; getchar(); } } /** * 打印邻接矩阵和顶点信息 */ void print_mg(mgraph mg) { int i, j; if(mg.type == dg){ printf(graph type: direct graph ); } else{ printf(graph type: undirect graph ); } printf(graph vertex number: %d ,mg.vexnum); printf(graph arc number: %d ,mg.arcnum); printf(vertex set: ); for (i = 1; i <= mg.vexnum; i++) printf(%c , mg.vexs[i]); printf( adjacency matrix: ); for (i = 1; i <= mg.vexnum; i++) { j = 1; for (; j < mg.vexnum; j++) { printf(%d , mg.arcs[i][j]); } printf(%d , mg.arcs[i][j]); } } // 定义边结构体 typedef struct{ int start; int end; int cost; }edge; /* * * 由邻接矩阵得到边的信息 * * */ void init_edge(mgraph mg,edge edge[]){ int i,j; int count = 0; if(mg.type == 0){ for(i = 1; i <= mg.vexnum;i++){ for (j = 1;j <= mg.vexnum;j++){ if(mg.arcs[i][j] != 0 && mg.arcs[i][j] != un_reach){ edge[count].start = i; edge[count].end = j; edge[count].cost = mg.arcs[i][j]; count++; } } } } else{ for(i = 1; i <= mg.vexnum;i++){ for (j = i;j <= mg.vexnum;j++){ if(mg.arcs[i][j] != 0 && mg.arcs[i][j] != un_reach){ edge[count].start = i; edge[count].end = j; edge[count].cost = mg.arcs[i][j]; count++; } } } } } /* * * 将边按权值从大到小排序 * */ void sort_edge(edge edge[],int arcnum){ int i,j; edge temp; for(i = 0; i < arcnum - 1;i++){ for (j = i+1;j < arcnum;j++){ if(edge[i].cost > edge[j].cost){ temp = edge[i]; edge[i] = edge[j]; edge[j] = temp; } } } } /* * * 输出边的信息 * */ void print_edge(edge edge[],int arcnum){ int i = 0; while(i < arcnum){ printf(%d,%d,%d ,edge[i].start,edge[i].end,edge[i].cost); i++; } } /** * 找出指定节点的所属的连通分量,这里是找出其根节点在father数组中下标。 **/ int findfather(int father[],int v){ int t = v; while(father[t] != -1) t = father[t]; return t; } /* * *kruskal算法求最小生成树 * */ void kruskal_mg(mgraph mg,edge edge[]){ int father[max_vex_num]; int i,count,vf1,vf2; // 初始化father数组 for(i = 0;i < max_vex_num;i++){ father[i] = -1; } i = 0; count = 0; // 统计加入最小生树中的边数 // 遍历任意两个结点之间的边 while(i < mg.arcnum && count < mg.arcnum){ vf1 = findfather(father,edge[i].start); vf2 = findfather(father,edge[i].end); // 如果这两个节点不属于同一个连通分量,则加入同一个连通分量 if (vf1 != vf2){ father[vf2] = vf1; count++; printf(%c,%c,%d ,mg.vexs[edge[i].start],mg.vexs[edge[i].end],edge[i].cost); } i++; } } /** * 主函数 */ int main(void) { mgraph mg; edge edge[max_arc_num]; create_mg(&mg); print_mg(mg); init_edge(mg,edge); sort_edge(edge,mg.arcnum); printf(the result of kruskal: ); kruskal_mg(mg,edge); return exit_success; }
运行演示:
jesson@jesson-k43sv:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ gcc -o kruskal kruskal.c jesson@jesson-k43sv:~/develop/worksapce/c_learning/最小生成树$ ./kruskal please input graph type dg(0) or udg(1) :0 please input vexmun : 4 please input arcnum : 5 please input 1th vex(char):a please input 2th vex(char):b please input 3th vex(char):c please input 4th vex(char):d please input 1th arc v1(char) v2(char) weight(int): a b 1 please input 2th arc v1(char) v2(char) weight(int): a c 3 please input 3th arc v1(char) v2(char) weight(int): a d 4 please input 4th arc v1(char) v2(char) weight(int): b c 2 please input 5th arc v1(char) v2(char) weight(int): c d 3 graph type: direct graph graph vertex number: 4 graph arc number: 5 vertex set: a b c d adjacency matrix: 0 1 3 4 1000 0 2 1000 1000 1000 0 3 1000 1000 1000 0 the result of kruskal: a,b,1 b,c,2 c,d,3
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