c/c++语言开发共享Berlekamp-Massey算法学习笔记

berlekamp-massey算法

很久之前就听说过这个算法，当时六校联考的时候day1t1是一道很有意思的递推，神仙zzx不会做于是就拿bm算法艹出了递推式orzzzzzzzzzzx

我就不详细说了，只记一下自己感觉比较难理解的地方

设(r(m))表示序列的递推式且长度为(m)

(f(r, i))表示(sum_{j = 1}^m r_j * a[i – j])

(delta(r, i))表示(a[i] – f(r, i))

(fail_i)表示第(i)个递推式出错的位置

对于某一个位置(i)，如果我们求出的(delta(r, i) not = 0)，这时候我们需要构造一个递推式(r'(m'))，满足(forall j in [m' + 1, i – 1] f(r', j) = 0)且(f(r, i) = delta(r, i))

这样我们令(r = r + r')就得到新位置的递推式了

(r')可以这么构造

设(mul = frac{delta(r, i)}{delta(r, fail_{cnt – 1})})

那么(r' = {0, 0, 0 dots, 0, mul, -mul * r_{cnt – 1} })

(0)的个数为(i – fail_{cnt – 1} – 1)

至于为什么这么构造是对的，我思考了挺长时间，简单的证明一下

首先对于(forall j in [m' + 1, i – 1]), (delta(r', j) = 0)

仔细想了想，，发现自己并不会证。。如果哪位大佬会的话可以教教本蒟蒻

感性理解就是因为(r)在([1, m])处满足任意位置为(0)，然后右移一下还满足？。。

至于为什么(f(r', i) = delta(r, i))

可以这么考虑，前(i – fail_{cnt – 1} – 1)个位置产生的贡献为(0)

(mul)产生的贡献为(mul * a_{fail_{cnt – 1}})

(-mul * r_{cnt – 1})产生的贡献为(-mul * (a[fail_{cnt – 1}] – delta(r, fail_{cnt – 1]}))

合并同类项后可以得到(mul * delta(r, fail_{cnt – 1}) = delta(r, i))

代码如下

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = 2005; const double eps = 1e-8; int cnt, fail[maxn]; double val[maxn], delta[maxn]; vector <double> ans[maxn]; int main() {     int n; scanf("%d", &n);     for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf", &val[i]);     for (int i = 1; i <= n; i++) {         double tmp = val[i];         for (int j = 0; j < ans[cnt].size(); j++)             tmp -= ans[cnt][j] * val[i - j - 1];         delta[i] = tmp;         if (fabs(tmp) <= eps) continue;         fail[cnt] = i;         if (cnt == 0) {             ans[++cnt].resize(i);             continue;         }         double mul = delta[i] / delta[fail[cnt - 1]];         cnt++; ans[cnt].resize(i - fail[cnt - 2] - 1);         ans[cnt].push_back(mul);         for (int j = 0; j < ans[cnt - 2].size(); j++)             ans[cnt].push_back(ans[cnt - 2][j] * -mul);         if (ans[cnt].size() < ans[cnt - 1].size()) ans[cnt].resize(ans[cnt - 1].size());         for (int j = 0; j < ans[cnt - 1].size(); j++)             ans[cnt][j] += ans[cnt - 1][j];     }     for (int i = 0; i < ans[cnt].size(); i++)         cout << ans[cnt][i] << ' ';     return 0; }