c/c++语言开发共享CDQ分治小结

cdq分治小结

warning:此文仅用博主复习使用，初学者看的话后果自负。。

复习的时候才发现以前根本就没写过这种东西的总结，简单的扯一扯

cdq分治的经典应用就是解决偏序问题

比如最经典的三维偏序问题

给出(n)个数，每个数(i)，有三个属性(a_i, b_i, c_i)，现在我们要统计对于每个(i)，(a_j leqslant a_i, b_j leqslant b_i, c_j leqslant c_i)的个数

显然我们可以先把所有数都按(a_i)排序一遍，这样考虑每个位置(i)的时候只需要考虑它前面的贡献即可

接下来我们递归处理区间([1, n])。

设分治中心为(mid)，cdq分治的主要思想递归处理每一段区间，只考虑过分治中心的贡献。

同时，我们采用归并排序的思想，保证每一次统计答案的时候区间([l, mid])和([mid +1, r])内的元素的(b_i)都是相对有序的

这样我们只需要用两个指针扫一遍，同时用树状数组来维护一下(c_i)即可

好像说的挺抽象的，貌似直接看代码会好很多？

void cdq(int l, int r) {     if(l >= r) return ;//区间不合法     int mid = l + r >> 1;     cdq(l, mid); cdq(mid + 1, r);//递归下去处理子区间，处理完之后保证区间内的bi相对有序     int nl = l, nr = mid + 1, top = l - 1, sum = 0;//使用两个指针来归并本区间     while(nl <= mid || nr <= r) {//st数组记录的时把两端区间按bi大小合并后的值         if((nr > r) || (nl <= mid && a[nl].b <= a[nr].b)) t.add(a[nl].c, a[nl].w), st[++top] = a[nl++];//用树状数组维护ci的贡献         else a[nr].id += t.query(a[nr].c ), st[++top] = a[nr++];//直接查询即可     }     for(int i = l; i <= mid; i++) t.add(a[i].c, -a[i].w);//把左边区间的影响消除     for(int i = l; i <= r; i++) a[i] = st[i];//按bi排序 }

然而有一种非常恶心的情况：即(a_i = a_j, b_i = b_j, c_i = c_j)

他们内部的贡献往往是不好考虑的，一个最直观的想法是直接把这些相同的数看成一个，统计答案的时候直接加上他们的数量即可

模板

洛谷p3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

#include<bits/stdc++.h> #define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<22, stdin), p1 == p2) ? eof : *p1++) using namespace std; const int maxn = 2e5 + 10; char buf[(1 << 22)], *p1 = buf, *p2 = buf; inline int read() {     char c = getchar(); int x = 0, f = 1;     while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}     while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();     return x * f; } char obuf[1<<24], *o=obuf; void print(int x) {     if(x > 9) print(x / 10);     *o++= x % 10 + '0'; } int n, ans[maxn]; struct array {     int a, b, c, id, w;     bool operator == (const array &rhs) const {         return a == rhs.a && b == rhs.b && c == rhs.c;     }     bool operator < (const array &rhs) const {         return(a == rhs.a ? (b == rhs.b ? c < rhs.c : b < rhs.b) : a < rhs.a);     } }a[maxn], st[maxn]; struct node { #define lb(x) (x & (-x))     int t[maxn], lim;     void add(int x, int v) {         while(x <= lim) t[x] += v, x += lb(x);     }     int query(int x) {         int ans = 0;         while(x) ans += t[x], x -= lb(x);         return ans;     } }t; void cdq(int l, int r) {     if(l >= r) return ;     int mid = l + r >> 1;     cdq(l, mid); cdq(mid + 1, r);     int nl = l, nr = mid + 1, top = l - 1, sum = 0;     while(nl <= mid || nr <= r) {         if((nr > r) || (nl <= mid && a[nl].b <= a[nr].b)) t.add(a[nl].c, a[nl].w), st[++top] = a[nl++];         else a[nr].id += t.query(a[nr].c ), st[++top] = a[nr++];     }     for(int i = l; i <= mid; i++) t.add(a[i].c, -a[i].w);     for(int i = l; i <= r; i++) a[i] = st[i]; } int main() {     n = read(); t.lim = read();     for(int i = 1; i <= n; i++) a[i].a = read(), a[i].b = read(), a[i].c = read(), a[i].w = 1;     stable_sort(a + 1, a + n + 1);     int num = 1;     for(int i = 2; i <= n; i++){         if(a[i] == a[num]) a[num].w++;          else a[++num] = a[i];     }     cdq(1, num);     for(int i = 1; i <= num; i++) ans[a[i].id + a[i].w - 1] += a[i].w;     for(int i = 0; i < n; i++) print(ans[i]), *o++ = 'n';     fwrite(obuf, o-obuf, 1 , stdout);     return 0; }