c/c++语言开发共享Lyndon Word学习笔记

lyndon word

定义：对于字符串(s)，若(s)的最小后缀为其本身，那么称(s)为lyndon串

等价性：(s)为lyndon串等价于(s)本身是其循环移位中最小的一个

性质

任意字符串(s)都可以分解为(s = s_1 s_2 dots s_k)，其中(forall s_i)为lyndon串且(s_i geqslant s_{i +1})。且这种分解方法是唯一的

• 存在性

引理1：若(u, v)为lyndon串，且(u < v)，那么(uv)为lyndon串

证明：
要证明(uv)为lyndon串只需证明(uv)本身为其最小后缀，
我们可以把所有的后缀分为两类，一类是由(u)的后缀加上(v)串的来，这部分的相对大小不会改变。
另一类是(v)串的后缀，因为(v)本身也是lyndon串，我们只需证明(v > uv)，因为(v > u)，显然成立

• 唯一性

证明：
设(pre(s, i))表示串(s)中(s[1 dots i])所代表的前缀
若有两种方案，取第一次不同的位置，设(|s_i| > |s'_i|)
令(s_i = s'_i s'_{i + 1} dots s'_{k} pre(s_{k + 1}, l))
反证法。根据定义，(s_i < pre(s'_{k + 1}, l) leqslant s'_{k + 1} leqslant s'_i < s_i)
矛盾

duval算法

(下面内容抄袭并补充自参考资料2)

该算法可以在(o(n))的时间内求出串(s)的lyndon分解

引理2：若字符串(v)和字符(c)满足(vc)是某个lyndon串的前缀，则对于字符(d>c)有(vd)是lyndon串

证明：和上面同样的思路，对于(d)之前的后缀相对大小不会改变，之后的后缀只会变大

该算法中我们仅需维护三个变量(i, j, k)

(s[1..i – 1] = s_1 s_2 dots s_g)是固定下来的分解，也就是(forall l in [1, g] s_l)是lyndon串且(s_l > s_{l + 1})

(s[i .. k – 1] = t_1 t_2 dots t_h v(h > 1)) 是没有固定的分解，满足(t_1)是lyndon串，且(t_1 = t_2 = dots = t_h)，(v)是(t_h)的(可为空的)真前缀，且有(s_g > s[i .. k – 1])

当前读入的字符是(s[k])，令(j = k – |t_1|)

分三种情况讨论

• 当(s[k] = s[j])时，周期(k – j)继续保持

• 当(s[k] > s[j])时，合并得到(t_1 <- t_1 t_2 dots t_h v s[k])是lyndon串

• 当(s[k] < s[j])时，(t_1, t_2, dots, t_h)的分解被固定下来，算法从(v)的开头处重新开始

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn = (1 << 21) + 1; char s[maxn]; int main() {     scanf("%s", s + 1);     int n = strlen(s + 1), j, k;     for(int i = 1; i <= n;) {         j = i; k = i + 1;         while(k <= n && s[j] <= s[k]) {             if(s[j] < s[k]) j = i;             else j++;             k++;         }         while(i <= j) {             printf("%d ", i + k - j - 1);             i += k - j;         }     }     return 0; }

参考资料

lyndon word

金策—字符串选讲