c/c++语言开发共享从零开始的伯努利数

伯努利数的坑太多了，目前正全力整合

基础部分已经填完了。

伯努利数

通常情况下指第一类伯努利数(b^-)，递推式为

[ b_0=1,sum_{i=0}^nbinom{n+1}{i}b_i=0(nge1) ]

其前若干项为(0,-frac12,frac16,0,-frac1{30},0,cdots)，发现对大于1的奇数(n)伯努利数(b_n=0)。

与第二类伯努利数(b^+)的差别在于(b_1^+=frac12)，或者说(b^+_i=(-1)^ib^-_i)，暂不研究。

伯努利数的生成函数

伯努利数(b)的指数生成函数
[ b(x)=sum_{i=0}frac{b_i}{i!}x^i=frac{x}{e^x-1} ]
可以以如下方式推导
[ begin{aligned} sum_{i=0}^{n-1}binom{n}{i}b_i&=0(nge2)\ sum_{i=0}^{n}binom{n}{i}b_i&=b_n(nge2)\ sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{b_i}{i!}&=frac{b_n}{n!}(nge2)\ sum_{n=2}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{b_i}{i!}x^n&=sum_{n=2}frac{b_n}{n!}x^n\ sum_{n=0}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{b_i}{i!}x^n&=sum_{n=2}frac{b_n}{n!}x^n+(frac{1}{1!}frac{b_0}{0!}+frac{1}{0!}frac{b_1}{1!})x^1+frac{1}{0!}frac{b_0}{0!}x^0\ sum_{n=0}sum_{i=0}^{n}frac1{(n-i)!}frac{b_i}{i!}x^n&=sum_{n=0}frac{b_n}{n!}x^n+x^1\ b(x)times e^x&=b(x)+xrightarrow b(x)=frac{x}{e^x-1} end{aligned} ]
这明面上给出了一个求出伯努利数列(b)的前(n)项的多项式做法，首先钦定(0^0=1)，
[ b(x)=frac{x}{e^x-1}=frac{x}{sum_{i=0}frac{x^i}{i!}-1}=(sum_{i=0}frac{x^i}{(i+1)!})^{-1} ]

伯努利多项式

等幂和函数
[ s_m(n)=sum_{i=1}^ni^m(n,mge0) ]
它的多项式表达，即伯努利多项式为
[ s_m(n)=frac1{m+1}sum_{i=0}^mbinom{m+1}{i}b^+_in^{m+1-i} ]
转换一下，当(n>0)时，
[ begin{aligned} sum_{i=1}^{n-1}i^m=s_m(n)-n^m &=frac1{m+1}sum_{i=0}^mbinom{m+1}{i}b^+_in^{m+1-i}-n^m\ &=frac1{m+1}sum_{i=0,inot=1}^mbinom{m+1}{i}b^+_in^{m+1-i}+frac1{m+1}binom{m+1}{1}frac12n^m-n^m\ &=frac1{m+1}sum_{i=0,inot=1}^mbinom{m+1}{i}b^-_in^{m+1-i}-frac1{m+1}binom{m+1}{1}frac12n^m\ &=frac1{m+1}sum_{i=0}^mbinom{m+1}{i}b^-_in^{m+1-i}\ sum_{i=1}^{n-1}i^m&=frac1{m+1}sum_{i=0}^mbinom{m+1}{i}b^-_in^{m+1-i} end{aligned} ]
更常见的是这样一个形式
[ sum_{i=0}^{n-1}i^m=frac1{m+1}sum_{i=0}^mbinom{m+1}{i}b^-_in^{m+1-i} ]
怎么得到的？当(m>0)时它能直接得出；当(m=0)时式子右边为(n)，而左边为(n-1+0^0)，因此只需钦定(0^0=1)。

考虑证明新的这个式子，左边的生成函数
[ begin{aligned} f(x)&=sum_{i=0}sum_{j=0}^{n-1}j^ifrac{x^i}{i!}=sum_{j=0}^{n-1}sum_{i=0}j^ifrac{x^i}{i!}\ &=sum_{j=0}^{n-1}e^{jx}=frac{e^{nx}-1}{e^x-1}\ &=b(x)frac{e^{nx}-1}x\ &=b(x)frac{sum_{i=0}frac{(nx)^i}{i!}-1}x\ &=b(x)sum_{i=0}frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i\ &=(sum_{i=0}frac{b_i}{i!}x^i)(frac{n^{i+1}}{(i+1)!}x^i) end{aligned} ]

可知([m]f(x)=sum_{i=0}^mfrac{b_i}{i!}frac{n^{m+1-i}}{(m+1-i)!})，再乘上指数生成函数中砍去的阶乘(m!)，恰好是求证等式右边化简后的形式，即得证。