introduction：
在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。
如果某个割点集合只含有一个顶点x（也即{x}是一个割点集合），那么x称为一个割点。–百度百科
首先，什么是割点？
在一个有n个节点，m条边的有向图中，若删去一个点，以及所有与这个节点直接相连的边，会使该图不连通、或出现更多互不连通的子图（原图本身就不连通的情况），则称这个点为割点。
那么不难想到割点的一种求法：
一、暴力枚举：
枚举每一个节点，判断该节点是否是割点（没有什么是暴力解决不了的）
不过显然暴力枚举太慢了，出题人也不想让你这么轻松就ac
因此，可以用以下两种方法快速的求出割点：
二、dfs树：
首先来设想一下，假如我们用dfs来遍历一张无向图连通图，保证每个点只被遍历到一次，然后将遍历时经过的每一个点，每一条边取出，组成一个新的联通图，显而易见：这张新图必然是一棵树。
我们称这棵树为dfs树，同时不难看出，由于遍历时所选的根节点不同，遍历的顺序不同，所以这颗dfs树并不唯一，不过这对于求割点而言影响不大，所以只要任意求出一颗dfs树就可以了
对于原图而言，我们将构成dfs树的边称为树边，不属于dfs树的边称为非树边
存在一个结论：对于每一条非树边，他只可能连接dfs树上某个节点和他的祖先，不可能连接两个分别位于不同子树上的节点，我们称这样连接dfs树上的某个节点与他的祖先的非树边为返祖边。
如图所示，只存在形如边i的返祖边，不存在形如边j的横跨边
图1
证明：若存在边j，则在dfs时必然会先经过边j由5节点遍历到3节点，形成如下图形，不可能会形成一条横跨边。
图2：
借助dfs树的这些性质，我们就可以求割点了：
分三种情况讨论:
1.若该节点是叶子节点，那么他一定不是割点
2.若该节点是根节点，那么若他的子树数量大于等于2，则他是割点，若他只有一颗子树，则他不是割点
3.若该节点既不是根节点也不是叶子节点，则若他的每一颗子树都中存在一条返祖到他的祖先节点（不包括）的返祖边，则他不是割点（如上图2中的2、5节点）反之他是割点
如图所示：图a中的1节点是一个割点，4节点是一个割点，图b中的1节点不是一个割点，5节点不是一个割点
代码如下：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 const int maxn = 100010; 7 const int maxm = 500005; 8 int n, m; 9 int tot, ans; 10 bool vis[maxn]; 11 struct edge 12 { 13 int to; 14 int next; 15 bool t;//这条边是否是一条从子节点到父节点的边 16 bool flag;//是否是树边 17 }e[maxm]; 18 struct node 19 { 20 int f;//该节点的父节点 21 int to;//该节点及其子树的所有节点的返祖边能够到达的最浅深度 22 int son;//该节点的子节点的个数 23 int deep;//该节点的深度 24 int head; 25 bool root;//是否是根节点 26 bool flag;//是否是割点 27 }p[maxn]; 28 void add(int u, int v) 29 { 30 tot++; 31 e[tot].to = v; 32 e[tot].next = p[u].head; 33 p[u].head = tot; 34 } 35 void dfs(int u, int f)//u代表当前节点,f代表该节点的父节点 36 { 37 vis[u] = 1; 38 p[u].deep = p[f].deep + 1;//记录深度 39 p[u].to = p[u].deep;//初始设该节点及其子树所能够连接的最浅深度为该节点的深度 40 for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)//枚举该节点的所有子节点 41 { 42 int v = e[i].to; 43 if (!vis[v]) 44 { 45 p[u].son++;//记录子节点的数量 46 p[v].f = u;//记录u的子节点的父节点为u 47 e[i].flag = 1;//这条边属于树边 48 dfs(v, u); 49 } 50 } 51 } 52 void init(int u)//处理每个节点的子树 53 { 54 for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next)//更新每一个节点的子树所能抵达的最浅深度 55 { 56 int v = e[i].to; 57 if (e[i].flag && !e[i].t) 58 { 59 init(v); 60 p[u].to = min(p[u].to, p[v].to); 61 } 62 } 63 } 64 bool check(int u) 65 { 66 for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next) 67 { 68 if (e[i].flag && !e[i].t) 69 { 70 int v = e[i].to; 71 if (!(p[v].to < p[u].deep)) 72 return 0; 73 } 74 } 75 return 1; 76 } 77 void work()//判断每一个节点是否是割点 78 { 79 for (int u = 1; u <= n; u++) 80 { 81 if (u == 1)//u是根节点 82 { 83 if (p[u].son <= 1) 84 p[u].flag = 1;//不是割点 85 } 86 else if (p[u].son == 0) 87 p[u].flag = 1; 88 else 89 { 90 if (check(u)) 91 p[u].flag = 1; 92 } 93 } 94 } 95 int main() 96 { 97 cin >> n >> m; 98 for (int i = 1; i <= m; i++) 99 { 100 int u, v; 101 cin >> u >> v; 102 add(u, v); 103 add(v, u); 104 } 105 dfs(1, 0); 106 //处理最小深度 107 //注意要特判从儿子节点到父节点的边（树边的一半），否则所有节点（都被认为可以到达根节点） 108 for (int u = 1; u <= n; u++) 109 { 110 for (int i = p[u].head; i; i = e[i].next) 111 { 112 int v = e[i].to; 113 if (!e[i].flag && v != p[u].f)//若这条边是树边且不是由儿子节点到父节点 114 { 115 p[u].to = min(p[u].to, p[v].deep);//更新u能抵达的最前深度 116 } 117 if (v == p[u].f) 118 e[i].t = 1; 119 } 120 } 121 init(1); 122 work(); 123 for (int i = 1; i <= n; i++) 124 if (!p[i].flag) 125 ans++; 126 cout << ans << endl; 127 for (int i = 1; i <= n; i++) 128 if (!p[i].flag) 129 cout << i << " "; 130 return 0; 131 }
不过上面的代码只能处理原图联通的情况，如果原图不连通则需要多跑几次（看成多个不同的连通图）
三、tarjan：
可以看出：以上用dfs树求割点的算法相当繁琐，相比之下，tarjan可以更加简单快捷的求出割点（并且不需要特判图的连通性）
分两种情况讨论：
1.对于根节点：若该节点的子节点的数量大于等于2则该节点是割点
2.对于其他节点：设该节点为u，设该节点的子节点为v，若存在low[v]>=dfn[u]则节点u为割点（类比dfs树第二种情况）
代码如下：
1 #include<stack> 2 #include<vector> 3 #include<string.h> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 const int maxn = 100010; 8 int ans; 9 int n, m, id; 10 int dfn[maxn]; 11 int low[maxn]; 12 bool flag[maxn];//记录每一个点是否是割点 13 vector<int> e[maxn];//vector存图 14 void tarjan(int u, int f)//普通的tarjan 15 { 16 int child = 0;//记录该节点有几个子节点 17 low[u] = dfn[u] = ++id; 18 for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) 19 { 20 int v = e[u][i]; 21 if (!dfn[v]) 22 { 23 tarjan(v, f); 24 low[u] = min(low[u], low[v]); 25 if (low[v] >= dfn[u] && u != f) 26 flag[u] = 1; 27 if (u == f) 28 child++; 29 } 30 low[u] = min(low[u], dfn[v]); 31 } 32 if (child >= 2 && u == f) 33 flag[u] = 1; 34 } 35 int main() 36 { 37 cin >> n >> m; 38 for (int i = 1; i <= m; i++) 39 { 40 int u, v; 41 cin >> u >> v; 42 e[u].push_back(v); 43 e[v].push_back(u); 44 } 45 for (int i = 1; i <= n; i++)//原图不一定联通，所以只要节点i尚未被遍历过 46 if (!dfn[i])//就要以i为根节点运行一次tarjan 47 tarjan(i, i); 48 for (int i = 1; i <= n; i++) 49 if (flag[i]) 50 ans++; 51 cout << ans << endl; 52 for (int i = 1; i <= n; i++) 53 if (flag[i]) 54 cout << i << " "; 55 return 0; 56 }
–会宁狐狸
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