矩阵乘法在一些置换问题上有着很好的应用,特别置换次数较多时,采用矩阵快速幂运算可以加快运算过程。
任意一个置换都能够表示成矩阵的形式。比如,将序列1 2 3 4 置换为 3 1 2 4,相当于以下的矩阵乘法:
一般来说,对于序列1, 2, …, n,若给出置换方法a1,a2,…,an ,该置换方法表示将原序列的第pi位置上的元素换到第i位置上。
则可以构造置换矩阵p为: p[ai][i]=1 (1<=i<=n), 其余元素全为0。
显然,置换矩阵每行只有一个元素为1,其余为0。
另外,构造的置换矩阵都是可逆的,并且它的逆矩阵等于它的转置矩阵。
【例1】解码字符串。
给定n个数,代表一个置换。一个长度为n的字符串s经过m次置换后变成另一个字符串t。
例如,输入5个数:2 3 1 5 4 代表一个置换操作。字符串s为“hello”,经过3次置换操作
“hello” -> “elhol” -> “lhelo” -> “helol”后,可得到字符串t为“helol”。
输入n、m和结果字符串t,输出转换前的原字符串s。
(1)编程思路。
由置换规则 2 3 1 5 4,可以快速构造用于字符串s转换到t的置换矩阵p。
而从字符串t转换到s显然是逆操作,而置换矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵。因此,用于本题的置换矩阵pt应为:
构造好置换矩阵后,m次操作就是置换矩阵的m次幂,之后再乘以初始序列{1 2 3 4 ….n},然后输出相应位置的字符就可以了。
(2)源程序。
#include <stdio.h>
#include <string.h>
struct matrix
{
int mat[81][81]; // 存储矩阵中各元素
};
matrix matmul(matrix a ,matrix b,int n)
{
matrix c;
memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));
int i,j,k;
for (k = 1; k<=n ; k++)
for (i=1 ;i<=n ; i++)
if (a.mat[i][k]!=0)
for (j = 1 ;j<=n ;j++)
c.mat[i][j] = (c.mat[i][j] + a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) ;
return c;
}
matrix quickmatpow(matrix a ,int n,int b) // n阶矩阵a快速b次幂
{
matrix c;
memset(c.mat ,0 ,sizeof(c.mat));
int i;
for (i = 1 ;i <= n ;i++)
c.mat[i][i] = 1;
while (b!=0)
{
if (b & 1)
c = matmul(c ,a ,n); // c=c*a;
a = matmul(a ,a ,n); // a=a*a
b /= 2;
}
return c;
}
int main()
{
int n,m,p[81],i;
matrix a,b,ans;
char str[82];
while (scanf(“%d%d”,&n,&m) && n!=0 && m!=0)
{
memset(b.mat,0,sizeof(b.mat));
for (i=1;i<=n;i++)
b.mat[1][i]=i;
memset(a.mat,0,sizeof(a.mat));
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf(“%d”,&p[i]);
a.mat[i][p[i]]=1;
}
getchar();
gets(str);
ans=quickmatpow(a,n,m);
ans=matmul(b,ans,n);
for (i=1;i<=n;i++)
printf(“%c”,str[ans.mat[1][i]-1]);
printf(“n”);
}
return 0;
}
将此源程序提交给hdu 2371 “decode the strings”,可以accepted。
【例2】送给圣诞夜的礼品。
已知序列1,2,3,…,n,给出m个置换操作, 例如某个置换操作 6 1 3 7 5 2 4,表示把6位置上的元素换到1位置上,1位置上的元素换到2位置上…。
求原序列为1,2,3,……,n的序列按给出的m个置换操作的顺序进行k次置换后得到的新序列。若k>m,则第m+1次置换操作做第1个置换操作,第m+2次置换操作做第2个置换操作,…。
数据说明: 1<=n<=100;1<=m<=10;1<=k<=2^31-1。
本题完整的描述可以参看 。
(1)编程思路。
搞懂了例1,本题就容易入手了。m 个置换操作需要构造m个置换矩阵。
构造好置换矩阵后,先将m个置换矩阵乘起来,得到ans矩阵,则此时的ans矩阵相当进行了m次操作;再将ans矩阵进行k/m次幂,此时相当进行了k次操作。当然,由于k不一定整除m,因此还需按m个置换操作的顺序进行k%m次的置换操作。
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