例8 尼科彻斯定理
题目描述
尼科彻斯定理可以叙述为:任何一个整数的立方都可以表示成一串连续的奇数的和。需要注意的是,这些奇数一定是连续的,如:1,3,5,7,9,…。
例如,对于整数5,5*5*5=125=21+23+25+27+29。
对于整数6,216=31+33+35+37+39+41,
也可以表示为216=7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29。
请你编写程序对这个定理进行验证。
输入格式
一个整数n(2≤n≤1000)。
输出格式
将n的立方表示为一串连续的奇数的和,具体格式见输出样例。若有多种表示方式,任意输出一种即可。
输入样例
29
输出样例
29*29*29=24389=813+815+817+819+821+823+825+827+829+831+833+835+837+839+841+843+845+847+849+851+853+855+857+859+861+863+865+867+869
(1)编程思路1。
先计算输入数n的立方num,然后从1(用变量i记录)开始累计和sum,累计每次j加2保证下个数也为奇数,如果累加和sum大于立方数num时,跳出本次循环,进行下一次的尝试(i=3或5、7、…开始累积和)。当找到后,记录开始位置(即i),结束位置(即j),输出。
程序写成一个嵌套的二重循环。外循环i控制累计和的起点,内循环累计i、i+2、i+4、…的和。
(2)源程序1。
#include<stdio.h>
int main()
{
int n,num,sum,i,j,k,flag;
while(1)
{
scanf(“%d”,&n);
if(n==0) break;
num = n * n * n;
flag=0;
for(i=1; i<num && flag==0; i=i+2)
{
sum=0;
for(j=i; j<num; j=j+2)
{
sum += j;
if(sum == num)
{
printf(“%d*%d*%d=%d=%d”,n,n,n,num,i);
for (k=i+2; k<=j;k+=2)
printf(“+%d”,k);
printf(“n”);
flag=1;
break;
}
else if (sum > num)
break;
}
}
}
return 0;
}
(3)编程思路2。
源程序1的思路是通过试探的方法来验证尼科彻斯定理,采用二重循环实现。
实际上,n的立方一定可以表示为一个等差数列的各项和,该等差数列的首项为n*n-n+1,公差为2,项数为n。
按等差数列的求和公式知该数列的和为:
[(n*n-n+1)+( n*n-n+1)+ 2 (n-1)]*n/2 =n*n*n
因此,直接用循环输出这个等差数列的各项即可。
(4)源程序2。
#include<stdio.h>
int main()
{
int n,a,i;
while(1)
{
scanf(“%d”,&n);
if(n==0) break;
// 输出等差数列,首项为n*n-n+1,公差为2,项数为n
a=n*n-n+1;
printf(“%d*%d*%d=%d=%d”,n,n,n,n*n*n,a);
for (i=1; i<n;i++)
printf(“+%d”,a+i*2);
printf(“n”);
}
return 0;
}
习题8
8-1 谷角猜想
题目描述
日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象:对于任意一个自然数 n ,若 n 为偶数,则将其除以 2 ;若 n 为奇数,则将其乘以 3 ,然后再加 1 。如此经过有限次运算后,总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。
请你编写程序对这个猜想进行验证。
输入格式
一个自然数n。
输出格式
把 n 经过有限次运算后,最终变成自然数 1 的全过程输出。具体格式见输出样例。
输入样例
34
输出样例
34/2=17
17*3+1=52
52/2=26
26/2=13
13*3+1=40
40/2=20
20/2=10
10/2=5
5*3+1=16
16/2=8
8/2=4
4/2=2
2/2=1
(1)编程思路。
定义迭代变量为n,按照谷角猜想的内容,可以得到两种情况下的迭代关系式:当 n 为偶数时,n=n/2 ;当 n 为奇数时, n=n*3+1 。
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次,才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ,这是我们无法计算出来的。因此,还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。由于对任意给定的一个自然数 n ,只要经过有限次运算后,能够得到自然数 1 ,从而完成验证工作。因此,用来结束迭代过程的条件可以定义为: n==1 。
(2)源程序。
#include<stdio.h>
int main()
{
unsigned int data;
scanf(“%d”,&data);
while(data!=1)
{
if((data%2==0))
{
printf(“%d/2=%dn”,data,data/2);
data/=2;
}
else
{
printf(“%d*3+1=%dn”,data,data*3+1);
data=data*3+1;
}
}
return 0;
}
8-2 四方定理
题目描述
数论中著名的“四方定理”是:所有自然数至多只要用四个不小于0的整数的平方和就可以表示。
编写一个程序验证此定理。
输入格式
一个自然数n。
输出格式
把自然数 n 表示为四个数的平方和。具体格式见输出样例。
输入样例
147
输出样例
7*7+7*7+7*7+0*0=147
8*8+7*7+5*5+3*3=147
9*9+5*5+5*5+4*4=147
9*9+7*7+4*4+1*1=147
9*9+8*8+1*1+1*1=147
11*11+4*4+3*3+1*1=147
11*11+5*5+1*1+0*0=147
12*12+1*1+1*1+1*1=147
(1)编程思路。
对于待验证的自然数n,用四个变量i、j、k、l采用试探的方法,穷举进行计算,满足要求(i *i + j * j + k * k + l * l == n)时输出计算结果。
在穷举时,不妨设i≥j≥k≥l。因此,穷举的范围可确定为:
1 ≤ i ≤ n/2
0 ≤ j ≤ i
0 ≤ k ≤ j
0 ≤ l ≤ k
(2)源程序。
#include<stdio.h>
int main()
{
int n,i,j,k,l;
scanf(“%d”,&n);
for (i = 1; i <= n/2; i++) // 对i,j,k,l进行穷举
for (j = 0; j <= i; j++)
for (k = 0; k <= j; k++)
for (l = 0; l <= k; l++)
if (i *i + j * j + k * k + l * l == n)
{
printf(“%d*%d+%d*%d+%d*%d+%d*%d=%dn”,i,i,j,j,k,k,l,l,n);
}
return 0;
}
8-3 卡布列克运算
问题描述
所谓卡布列克运算,是指任意一个四位数,只要它们各个位上的数字不全相同,就有这样的规律:
(1)把组成这个四位数的四个数字由大到小排列,形成由这四个数字构成的最大的四位数;
(2)把组成这个四位数的四个数字由小到大排列,形成由这四个数字构成的最小的四位数(如果四个数字中含有0,则此数不足四位);
(3)求出以上两数之差,得到一个新的四位数。
重复以上过程,总能得到最后的结果是 6174。
例如,n= 3280,验证结果为:8320-238=8082 8820-288=8532 8532-2358=6174
编写一个程序对卡布列克运算进行验证。
输入数据
一个各位上的数字不全相同的四位数n。
输出要求
把 n 经过有限次卡布列克运算后,最终变成6174的全过程输出。具体格式见输出样例。
输入样例
2019
输出样例
9210-129=9081
9810-189=9621
9621-1269=8352
8532-2358=6174
yes
(1)编程思路。
为实现验证程序,编写4个函数。
void parse_sort(int each[],int num) 将num分解为各位数字并排序后存入数组each[]中。
int mind(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最大数。
int maxd(int each[]) 求数组each中的4个数字可组成的最小数。
int pow10_int(int n) 求10的n次方。
(2)源程序。
#include <stdio.h>
#define n 4
int pow10_int(int n); // 求10的n次方
void parse_sort(int each[],int num); // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中
int mind(int each[]); // 求数组each可组成的最大数
int maxd(int each[]); // 求数组each可组成的最小数
int main()
{
int number,max,min;
int each[n];
scanf(“%d”,&number);
while(number!=6174)
{
parse_sort(each,number);
max=maxd(each);
min=mind(each);
number=max-min;
printf(“%d-%d=%dn”,max,min,number);
}
printf(” yesn”);
return 0;
}
int pow10_int(int n) // 求10的n次方的函数
{
int sum=1;
for(int i=0;i<n;i++)
sum=sum*10;
return sum;
}
void parse_sort(int each[],int num) // 把num分解各个位上的数后存入数组each[]中
{
int m,i,j,t;
for (i=0;i<n;i++)
each[i]=0;
i=0;
while(num!=0)
{
m=num%10; num=num/10;
each[i++]=m;
}
for(i=0;i<n-1;i++)
for (j=0;j<n-1-i;j++)
if (each[j]>each[j+1])
{
t=each[j];
each[j]=each[j+1];
each[j+1]=t;
}
}
int mind(int each[]) // 求数组each可组成的最大数
{
int sum=0,i;
for(i=0;i<n;i++)
sum+=each[i]*pow10_int( (n-1-i) );
return sum;
}
int maxd(int each[]) // 求数组each可组成的最小数
{
int sum=0,i;
for(i=0;i<n;i++)
sum=sum+each[i]*pow10_int(i);
return sum;
}
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