c/c++语言开发共享CodeForces 710D Two Arithmetic Progressions

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有(2)个等差数列(a:a_i=a_1i+b_1(iinmathbb n),b:b_i=a_2i+b_2(iinmathbb n))。给定(l,r)，求有多少个整数(nin[l,r])满足(n)既在(a)内又在(b)内。

(a_1,a_2inleft(0,2times10^9right]capmathbb z,b_1,b_2,l,rinleft[-2times10^9,2times10^9right]capmathbb z,lleq r)。

设(n)在(a)中是第(xinmathbb n)项，在(b)中是第(yinmathbb n)项，则可以列出不定方程
[a_1x+b_1=a_2y+b_2]
转化成标准形式，得
[a_1x-a_2y=b_2-b_1]
这个显然可以用exgcd先确定无解并输出(0)走人，或确定有解并得到一组特解(begin{cases}x=x'\y=y'end{cases})。令(delta x=dfrac{a_2}{gcd(a_1,a_2)},delta y=dfrac{a_1}{gcd(a_1,a_2)})，则通解是(begin{cases}x=x'+kdelta x\y=y'+kdelta yend{cases}(kinmathbb z))。但对于(x,y)还有一个特殊的条件，就是(x,yinmathbb n)。不难发现(x,y)同增同减，不妨找到使得(x,y)都最小的一组解(begin{cases}x=x''\y=y''end{cases})。(x,y)都最小，当且仅当(x-delta x<0)或(y-delta y<0)，于是分别令(x''=x'bmod delta x,y''=y'bmod delta y)，每次带入原方程解出另一个变量看是否(geq0)，必有一次合法。

现在知道了(x'',y'')，通解就变成了(begin{cases}x=x''+kdelta x\y=y''+kdelta yend{cases}(kin mathbb n))。将(x=x''+kdelta x)带入(a_1x+b_1in[l,r])得
[a_1(x''+kdelta x)+b_1in[l,r]]
即
[a_1x''+a_1kdelta x+b_1in[l,r]]
即
[a_1kdelta xin[l-a_1x''-b_1,r-a_1x''-b_1]]
即
[kinleft[dfrac{l-a_1x''-b_1}{a_1delta x},dfrac{r-a_1x''-b_1}{a_1delta x}right]]
又因为(kinmathbb n)，所以
[kinleft[maxleft(0,leftlceildfrac{l-a_1x''-b_1}{a_1delta x}rightrceilright),leftlfloordfrac{r-a_1x''-b_1}{a_1delta x}rightrfloorright]]
然后算出(k_{min},k_{max})，(max(0,k_{max}-k_{min}+1))就是答案。

最后吐槽一下，c++中的/号是向零取整，也就是(<0)时上取整、(geq0)时下取整，(k)的解集中如果直接用/号算会wa，然后心态爆炸。所以必须要将被除数和除数统一取绝对值，然后利用(leftlfloordfrac abrightrfloor+leftlceildfrac {-a}brightrceil=0)这个原理计算，最后该取相反数取相反数：

int div_floor(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-(abs(x)+abs(y)-1)/abs(y):x/y;} int div_ceil(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-abs(x)/abs(y):(x+y-1)/y;}

下面贴ac代码：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int div_floor(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-(abs(x)+abs(y)-1)/abs(y):x/y;}//下取整  int div_ceil(int x,int y){return (x<0)^(y<0)?-abs(x)/abs(y):(x+y-1)/y;}//上取整  int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){//exgcd      if(!b)return x=1,y=0,a;     int d=exgcd(b,a%b,y,x);     return y-=a/b*x,d; } int a1,a2,b1,b2,l,r;//题目给的参数  signed main(){     cin>>a1>>b1>>a2>>b2>>l>>r;     int x,y,gcd=exgcd(a1,-a2,x,y);     if((b2-b1)%gcd)return puts("0"),0;//无解      x*=(b2-b1)/gcd;y*=(b2-b1)/gcd;//找到特解      int dx=abs(a2/gcd),dy=abs(a1/gcd);      ((x%=dx)+=dx)%=dx;y=(a1*x-(b2-b1))/a2;     if(y<0)((y%=dy)+=dy)%=dy,x=(a2*y+(b2-b1))/a1;//找到使x,y都最小的解      int l0=max(0ll,div_ceil(l-a1*x-b1,a1*dx)),r0=div_floor(r-a1*x-b1,a1*dx);//k[min],k[max]      cout<<max(0ll,r0-l0+1);//答案      return 0; }