本篇笔记首先介绍了分块矩阵的概念，并介绍了按行或按列进行分块的两种常见分块方式，还讨论了矩阵标准形的主要基本特征，然后重点讨论了分块矩阵的几种运算，包括分块矩阵的和、差、数乘和乘积，以及对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积，最后还介绍了分块矩阵转置和求逆的运算。
1 基本概念
在计算或证明时为了方便，将矩阵进行分块。
定义：将一个矩阵用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，将每个小矩阵称为这个矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。——百度百科
⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−2141−0113−1114−111∣−∣∣∣0−030⎦⎥⎥⎥⎥⎤=[A1A3A2A4]
根据实际做题的方便性和需要灵活分块。
以下是错误分法：
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1214∣∣∣−1−∣10−∣−131−11∣−−1−∣4−1−∣−10−03−0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
要求：不管横线还是竖线，需要一气到头。
如果分块数量比较多，也可以使用以下方式表示：
[A11A21A12A22]
2 两种常见的分块
2.1 按行分块
将每行进行分块。
⎣⎢⎢⎢⎢⎡1−1−12−1−43−1−4⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎡A1A2A3⎦⎤
每一行构成一个列向量，向量将在后续章节介绍。
⎝⎛α1α2α3⎠⎞
2.2 按列分块
将第列进行分块。
⎣⎡111∣∣∣214∣∣∣314⎦⎤=[B1B2B3]
每一列构成一个行向量，向量将在后续章节介绍。
(β1β2β3)
3 标准形
D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱10⋱0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤m×n
最主要特征：从左上角开始一串连续的1，其余地方均为0。标准形不一定是方的。
判断以下矩不是准形：
⎣⎡110⎦⎤是⎣⎡100010001000⎦⎤是⎣⎢⎢⎡1111⎦⎥⎥⎤是
⎣⎡011⎦⎤不是⎣⎢⎢⎡1101⎦⎥⎥⎤不是⎣⎡000⎦⎤是
可以对标准形进行分块：
D=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1−⋱−1−∣∣∣+∣∣∣−0−⋱−0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤m×n=[ErO(m−r)×rOr×(n−r)O(n−r)×(n−r)]
4 分块矩阵的运算
4.1 分块矩阵的和、差、数乘和乘积
① 分块矩阵加法（和减法）
[A1A3A2A4]+[B1B3B2B4]=[A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4]
对应块分别相加，但需要确保对应块的形状保持一致。
② 数乘以分块矩阵
k[A1A3A2A4]=[kA1kA3kA2kA4]
用这个数分别乘以矩阵的每一个子块。
③ 分块矩阵乘法
[A1A3A2A4][B1B3B2B4]=[A1B1+A2B3A3B1+A4B3A1B2+A2B4A3B2+A4B4]
将分块看成元素，即第一个矩阵行块与第二个矩阵列块对应先相乘再相加；
然后再对每个子块进行相乘。
分块矩阵能够相乘的前提条件：子块Aik与Bkj可乘。
例4：矩阵A为m×n阶，矩阵B为n×s阶，且B=[B1B2⋯Bt]，求AB。
解：显然，A和B的每一个子块都可乘。
AB=A[B1B2⋯Bt]
=[AB1AB2⋯ABt]
错误理解：将外面的A看作一个数直接乘进去；
正确理解：将A看作只有一个块的分块矩阵。
4.2 几种分块矩阵
4.2.1 对角型分块矩阵
⎣⎢⎢⎡A1A2⋱At⎦⎥⎥⎤
只有主对角线上有不为零的块。
例5：已知对角型分块矩阵A=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤和B=⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤，并且每个子块都是同阶方阵，求AB和A+B。
解：AB=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤
=⎣⎢⎢⎡A1B1A2B2⋱AkBk⎦⎥⎥⎤
A+B=⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Ak⎦⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎡B1B2⋱Bk⎦⎥⎥⎤
=⎣⎢⎢⎡A1+B1A2+B2⋱Ak+Bk⎦⎥⎥⎤
4.2.2 上三角和下三角分块矩阵
类似地，可以定义上三角分块矩阵和下三角分块矩阵。
容易证明：同型的对角型分块矩阵、三角分块矩阵和下三角分块矩阵的和、差、数乘和乘积仍然是对角型分块矩阵、三角分块矩阵或下三角分块矩阵。
4.3 分块矩阵转置
④ 分块矩阵转置
A=[A1A4A2A5A3A6]
(1) 把子块看作普通元素求转置；
(2) 对每个子块求转置。
AT=⎣⎡A1TA2TA3TA4TA5TA6T⎦⎤
4.4 分块矩阵求逆
⋆ 例6：假设H=[AOCB]是分块矩阵，并且A和B分别为m阶和n阶的可逆矩阵，试验证H可逆，并求H的逆矩阵。
分析：由题意可知：A为m阶的可逆方阵，B为n阶的可逆方阵，所以C为m×n阶，O为n×m阶。
证：行列式∣H∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣
错误理解：=∣AB−OC∣=∣A∣⋅∣B∣
正确理解：使用拉普拉斯展开定理，取定后n行展开，所以只能取后n列得到的子式不为零（因为取到前面的列得到的子式都等于零），即要以理解为按子式∣B∣展开，余子式为∣A∣，故其值为：
=∣B∣(−1)行标+列标∣A∣
=∣B∣(−1)[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]+[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣
=∣B∣(−1)2[(m+1)+(m+2)+...+(m+n)]∣A∣
=∣A∣∣B∣
又因为A和B均可逆，故∣A∣=0且∣B∣=0，
即：∣A∣⋅∣B∣=0，
所以：H可逆。
假设：H−1=[X1X4X3X2]
所以：HH−1=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣[X1X4X3X2]
=[AX1+CX4BX4AX3+CX2BX2]=[EOOE]
所以：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧AX1+CX4=EAX3+CX2=OBX4=OBX2=E
错误理解：⟹B=O或X4=O；
正确做法：因为B可逆，所以B−1BX4=B−1O，所以X4=O。
错误理解：因为BX2=E，所以X2=BE；
正确做法：根据逆矩阵推论，因为BX2=E，所以X2=B−1。
同理，将X4=O代入AX1+CX4=E可求出：X1=A−1，
将X2=B−1代入AX3+CX2=O，得AX3=−CB−1，故X3=−A−1CB−1。
所以：H−1=[A−1O−A−1CB−1B−1]
练习：假设H=[ACOB]是分块矩阵，并且A和B分别为m阶和n阶的可逆矩阵，试验证H可逆，并求H的逆矩阵。
结论：H−1=[A−1−B−1CA−1OB−1]
证明：略。
推论：若A和B均可逆，则[AB]−1=[A−1B−1]。
可以进行推广：若A1、A2 … As均可逆，
则⎣⎢⎢⎡A1A2⋱Bs⎦⎥⎥⎤−1=⎣⎢⎢⎡A1−1A2−1⋱Bs−1⎦⎥⎥⎤。
5 引用
《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.5 分块矩阵
c/c++开发分享线性代数学习笔记（十四）——分块矩阵地址：https://blog.csdn.net/li2008kui/article/details/107301726
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