c/c++语言开发共享天线理论与设计_第五节作业_王怀帅_202018019427053

3.3-1 对下述间距的6元等幅边射阵 ( θ M = 0 (theta_M=0 (θM​=0， θ theta θ角从阵法向算起)，写出其阵因子方向函数，求出 0 ∘ ∼ 9 0 ∘ 0^circsim90^circ 0∘∼90∘角域的零点方向，并概画其极坐标方向图：

( 1 ) d = λ / 2 ; (1)d=lambda/2; (1)d=λ/2;

( 1 ) d = λ ; (1)d=lambda; (1)d=λ;

( 1 ) d = 0.8 λ ; (1)d=0.8lambda; (1)d=0.8λ;

由题意知：

N = 6 N=6 N=6， ψ = 0 psi=0 ψ=0， u = k △ r + ψ = k d sin ⁡ θ u=kbigtriangleup r+psi=kdsintheta u=k△r+ψ=kdsinθ

阵因子方向函数：
F a = sin ⁡ ( N π d λ sin ⁡ θ ) N sin ⁡ ( π d λ sin ⁡ θ ) = sin ⁡ ( 6 π d λ sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( π d λ sin ⁡ θ ) F_a= frac{sin(frac{Npi d}{lambda}sintheta)} {Nsin(frac{pi d}{lambda}sintheta)}= frac{sin(frac{6pi d}{lambda}sintheta)} {6sin(frac{pi d}{lambda}sintheta)} Fa​=Nsin(λπd​sinθ)sin(λNπd​sinθ)​=6sin(λπd​sinθ)sin(λ6πd​sinθ)​

因为单元天线采用半波阵子：

F ( θ ) = F 1 ⋅ F a = cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ ( 6 π d λ sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( π d λ sin ⁡ θ ) F(theta)=F_1cdot F_a= frac{cos(frac{pi}{2}costheta)}{sintheta}cdot frac{sin(frac{6pi d}{lambda}sintheta)} {6sin(frac{pi d}{lambda}sintheta)} F(θ)=F1​⋅Fa​=sinθcos(2π​cosθ)​⋅6sin(λπd​sinθ)sin(λ6πd​sinθ)​

零点方向：
θ 0 = ± arcsin ⁡ n λ N d ， n = 1 , 2 , 3… theta_0=pmarcsinfrac{nlambda}{Nd}，n=1,2,3… θ0​=±arcsinNdnλ​，n=1,2,3...

MATLAB仿真程序：

%f = 3e10;%确定频率 lambda = 1;%设置波长 %k = 2*pi/lambda;%传播常数表达式 theta1 = 0:pi/300:2*pi;%设定角度范围 theta2 = 0:pi/300:2*pi; N = 6;%确定阵列元数 d = lambda./2;%设定间距 f1 = cos((pi/2).*sin(theta1))./cos(theta1);%半波振子方向图函数 f2_1 = sin((N*pi*d/lambda).*sin(theta2)); f2_2 = N.*sin((pi*d/lambda).*sin(theta2)); f2 = f2_1./f2_2;%阵因子方向图函数 rho = f1.*f2;%乘积定理 polarplot(theta2+pi/2,abs(rho),'b');%绘制极坐标方向图 title('6元等幅边射阵方向图')%标题  

所以，当边射阵的间距发生改变时，阵因子方向函数、零点方向、极坐标方向图如下：

d = λ / 2 d=lambda/2 d=λ/2：

F a = sin ⁡ ( 3 π sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( π 2 sin ⁡ θ ) F_a= frac{sin(3pisintheta)} {6sin(frac{pi}{2}sintheta)} Fa​=6sin(2π​sinθ)sin(3πsinθ)​

θ 0 = ± arcsin ⁡ n 3 ， n = 1 , 2 , 3… theta_0=pmarcsinfrac{n}{3}，n=1,2,3… θ0​=±arcsin3n​，n=1,2,3...

0 ∘ ∼ 9 0 ∘ 0^circsim90^circ 0∘∼90∘角域：

θ 0 = 19.4 7 ∘ 、 41.8 1 ∘ 、 9 0 ∘ theta_0=19.47^circ、41.81^circ、90^circ θ0​=19.47∘、41.81∘、90∘

d = λ d=lambda d=λ：

F a = sin ⁡ ( 6 π sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( π sin ⁡ θ ) F_a= frac{sin(6pisintheta)} {6sin(pisintheta)} Fa​=6sin(πsinθ)sin(6πsinθ)​

θ 0 = ± arcsin ⁡ n 6 ， n = 1 , 2 , 3… theta_0=pmarcsinfrac{n}{6}，n=1,2,3… θ0​=±arcsin6n​，n=1,2,3...

0 ∘ ∼ 9 0 ∘ 0^circsim90^circ 0∘∼90∘角域：

θ 0 = 9.5 9 ∘ 、 19.4 7 ∘ 、 3 0 ∘ 、 41.8 1 ∘ 、 56.4 4 ∘ 、 9 0 ∘ theta_0=9.59^circ、19.47^circ、30^circ、41.81^circ、56.44^circ、90^circ θ0​=9.59∘、19.47∘、30∘、41.81∘、56.44∘、90∘

d = 0.8 λ d=0.8lambda d=0.8λ：

F a = sin ⁡ ( 4.8 π sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( 4 π 5 sin ⁡ θ ) F_a= frac{sin(4.8pisintheta)} {6sin(frac{4pi}{5}sintheta)} Fa​=6sin(54π​sinθ)sin(4.8πsinθ)​

θ 0 = ± arcsin ⁡ n 4.8 ， n = 1 , 2 , 3… theta_0=pmarcsinfrac{n}{4.8}，n=1,2,3… θ0​=±arcsin4.8n​，n=1,2,3...

0 ∘ ∼ 9 0 ∘ 0^circsim90^circ 0∘∼90∘角域：

θ 0 = 12.0 2 ∘ 、 24.6 2 ∘ 、 38.6 8 ∘ 、 56.4 4 ∘ theta_0=12.02^circ、24.62^circ、38.68^circ、56.44^circ θ0​=12.02∘、24.62∘、38.68∘、56.44∘

3.3-5 分别利用式(3.3-56)和式(3.3-57)计算下列 N N N元等幅边射半波振子阵( d = λ / 2 d=lambda/2 d=λ/2)的方向系数：

(1) N = 3 N=3 N=3，并列;

(1) N = 4 N=4 N=4，并列;

(1) N = 4 N=4 N=4，共轴;

并 列 ： D = 1.64 N (3.3-56) 并列：D=1.64N tag{3.3-56} 并列：D=1.64N(3.3–56)

共 轴 ： D = N (3.3-56) 共轴：D=N tag{3.3-56} 共轴：D=N(3.3–56)

D = N 2 a 0 N + 2 k d ∑ m = 1 N − 1 ( a 1 sin ⁡ m k d + a 2 cos ⁡ m k d ) cos ⁡ m ψ (3.3-57) D=frac{N^2}{a_0N+frac{2}{kd}sum_{m=1}^{N-1}(a_1sin mkd+a_2cos mkd)cos mpsi} tag{3.3-57} D=a0​N+kd2​∑m=1N−1​(a1​sinmkd+a2​cosmkd)cosmψN2​(3.3–57)

N = 3 ， 并 列 N=3，并列 N=3，并列：

利用式(3.3-56)：
D = 1.64 N = 1.64 × 3 = 4.92 D=1.64N=1.64times 3=4.92 D=1.64N=1.64×3=4.92

利用式(3.3-57)：
D = 5.47 D=5.47 D=5.47

N = 4 ， 并 列 N=4，并列 N=4，并列：

利用式(3.3-56)：
D = 1.64 N = 1.64 × 4 = 6.56 D=1.64N=1.64times 4=6.56 D=1.64N=1.64×4=6.56

利用式(3.3-57)：
D = 7.49 D=7.49 D=7.49

N = 4 ， 共 轴 N=4，共轴 N=4，共轴：

利用式(3.3-56)：
D = 4 D=4 D=4

利用式(3.3-57)：
D = 4.30 D=4.30 D=4.30

3.3-7由 N = 7 N=7 N=7元半波振子组成的等幅边射共轴线阵(如图3.3-3所见)， d = λ / 2 d=lambda/2 d=λ/2，求 E E E面方向函数，概画方向图，并求 H P HP HP、 S L L SLL SLL及方向系数 D D D。

F ( θ ) = F 1 ⋅ F a = cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ ( 7 π 2 sin ⁡ θ ) 7 sin ⁡ ( π 2 sin ⁡ θ ) F(theta)=F_1cdot F_a= frac{cos(frac{pi}{2}costheta)}{sintheta}cdot frac{sin(frac{7pi}{2}sintheta)} {7sin(frac{pi}{2}sintheta)} F(θ)=F1​⋅Fa​=sinθcos(2π​cosθ)​⋅7sin(2π​sinθ)sin(27π​sinθ)​

H P = 0.886 λ N d = 0.886 × 2 7 ≈ 0.253 HP=0.886frac{lambda}{Nd}=0.886timesfrac{2}{7}approx0.253 HP=0.886Ndλ​=0.886×72​≈0.253

S L L = − 13.5 d B SLL=-13.5dB SLL=−13.5dB

D = N = 7 D=N=7 D=N=7

3.3-8 对上题 N = 7 N=7 N=7元半波振子等幅共轴线阵( d = λ / 2 d=lambda/2 d=λ/2)，今要求波束由边射方向 θ M = 0 ∘ theta_M=0^circ θM​=0∘扫描到 θ M = 4 0 ∘ theta_M=40^circ θM​=40∘

(1)求所需的相邻单元最大相移 ψ psi ψ；

(2)要求不出现栅瓣，对其间距 d d d有什么条件？

对于 N = 7 N=7 N=7元半波振子等幅共轴线阵，最大辐射角度为 θ M theta_M θM​的阵因子为：
u = k △ r + ψ = k d ( sin ⁡ θ − sin ⁡ θ M ) u=kbigtriangleup r+psi=kd(sintheta-sintheta_M) u=k△r+ψ=kd(sinθ−sinθM​)

F a = sin ⁡ [ N π d λ ( sin ⁡ θ − sin ⁡ θ M ) ] N sin ⁡ [ π d λ ( sin ⁡ θ − sin ⁡ θ M ) ] = sin ⁡ [ 7 π 2 ( sin ⁡ θ − sin ⁡ θ M ) ] 7 sin ⁡ [ π 2 ( sin ⁡ θ − sin ⁡ θ M ) ] F_a= frac{sin[frac{Npi d}{lambda}(sintheta-sintheta_M)]}{Nsin[frac{pi d}{lambda}(sintheta-sintheta_M)]}= frac{sin[frac{7pi}{2}(sintheta-sintheta_M)]}{7sin[frac{pi}{2}(sintheta-sintheta_M)]} Fa​=Nsin[λπd​(sinθ−sinθM​)]sin[λNπd​(sinθ−sinθM​)]​=7sin[2π​(sinθ−sinθM​)]sin[27π​(sinθ−sinθM​)]​

ψ = − k d sin ⁡ θ M = − π sin ⁡ 4 0 ∘ ≈ − 2.019 ≈ 115. 7 ∘ psi=-kdsintheta_M=-pisin40^circapprox-2.019approx115.7^circ ψ=−kdsinθM​=−πsin40∘≈−2.019≈115.7∘

抑制栅瓣不出现的条件为：

d < λ 1 + ∣ cos ⁡ ( 9 0 ∘ − θ M ) ∣ = λ 1 + cos ⁡ 5 0 ∘ ≈ 0.609 λ d<frac{lambda}{1+|cos(90^circ-theta_M)|}= frac{lambda}{1+cos50^circ}approx0.609lambda d<1+∣cos(90∘−θM​)∣λ​=1+cos50∘λ​≈0.609λ

严格要求栅瓣的主要部分不出现在可见区的条件为：

d < λ 1 + ∣ cos ⁡ ( 9 0 ∘ − θ M ) ∣ ( 1 − 1 2 N ) = 13 14 λ 1 + cos ⁡ 5 0 ∘ ≈ 0.565 λ d<frac{lambda}{1+|cos(90^circ-theta_M)|}(1-frac{1}{2N})= frac{frac{13}{14}lambda}{1+cos50^circ}approx0.565lambda d<1+∣cos(90∘−θM​)∣λ​(1−2N1​)=1+cos50∘1413​λ​≈0.565λ

3.3-10 对工作于 λ = 10 c m lambda=10cm λ=10cm的8元等幅等距线阵，请根据表(3.3-5)算chauffeur下列线阵所需要的的元距 d d d条件：

(1)边射阵；

(2)端射阵；

(3)HW端射阵；

(1)扫描角(从端射反向算起) θ M = 3 0 ∘ theta_M=30^circ θM​=30∘的扫描阵；

边射阵：

d < λ ( 1 − 1 2 N ) = 0.1 ( 1 − 1 16 ) ≈ 0.093 d<lambda(1-frac{1}{2N})=0.1(1-frac{1}{16})approx0.093 d<λ(1−2N1​)=0.1(1−161​)≈0.093

端射阵：

d < λ 2 ( 1 − 1 2 N ) = 0.05 ( 1 − 1 16 ) ≈ 0.046 d<frac{lambda}{2}(1-frac{1}{2N})=0.05(1-frac{1}{16})approx0.046 d<2λ​(1−2N1​)=0.05(1−161​)≈0.046

HW端射阵：

d < λ ( 1 − 1 N ) = 0.1 ( 1 − 1 8 ) ≈ 0.087 d<lambda(1-frac{1}{N})=0.1(1-frac{1}{8})approx0.087 d<λ(1−N1​)=0.1(1−81​)≈0.087

扫描角(从端射反向算起) θ M = 3 0 ∘ theta_M=30^circ θM​=30∘的扫描阵：

d < λ 1 + ∣ cos ⁡ θ M ∣ ( 1 − 1 2 N ) = 0.1 1 + 0.866 ( 1 − 1 16 ) ≈ 0.05 d<frac{lambda}{1+|costheta_M|}(1-frac{1}{2N})=frac{0.1}{1+0.866}(1-frac{1}{16})approx0.05 d<1+∣cosθM​∣λ​(1−2N1​)=1+0.8660.1​(1−161​)≈0.05

3.3-11 移动通信基站天线通常采用铅锤架设的4元边射共轴等幅半波振子阵，以在水平面产生全向方向图，如图3.3-20所见。早期蜂窝电话频段为 824 ∼ 894 M H z 824sim894MHz 824∼894MHz。

(1)为获得最大方向图系数，参考式(3.3-66)和图3.3-14，选定元距 d = 0.8 λ 0 d=0.8lambda_0 d=0.8λ0​， λ 0 lambda_0 λ0​为中心频率的波长，求 d d d的值。设上、下端频的波长为 λ 1 lambda_1 λ1​和 λ 2 lambda_2 λ2​，分别求 d / λ 1 d/lambda_1 d/λ1​和 d / λ 2 d/lambda_2 d/λ2​的值；

(2)利用式(3.3-57)分别算出 λ 0 lambda_0 λ0​、 λ 1 lambda_1 λ1​、 λ 2 lambda_2 λ2​时的方向系数 D 0 D_0 D0​、 D 1 D_1 D1​、 D 2 D_2 D2​；

(3)写出 λ 0 lambda_0 λ0​时的x-z面方向函数，画出其极坐标方向图；利用图3.2-4算出 λ 0 lambda_0 λ0​时的方向系数；

λ 0 = c f 0 = 3 × 1 0 8 859 × 1 0 6 ≈ 0.35 lambda_0=frac{c}{f_0}=frac{3times10^8}{859times10^6}approx0.35 λ0​=f0​c​=859×1063×108​≈0.35

λ 1 = c f 0 = 3 × 1 0 8 824 × 1 0 6 ≈ 0.36 lambda_1=frac{c}{f_0}=frac{3times10^8}{824times10^6}approx0.36 λ1​=f0​c​=824×1063×108​≈0.36

λ 2 = c f 0 = 3 × 1 0 8 894 × 1 0 6 ≈ 0.34 lambda_2=frac{c}{f_0}=frac{3times10^8}{894times10^6}approx0.34 λ2​=f0​c​=894×1063×108​≈0.34

d = 0.8 λ 0 ≈ 0.28 d=0.8lambda_0approx0.28 d=0.8λ0​≈0.28

d / λ 1 = 0.28 0.36 ≈ 0.78 d/lambda_1=frac{0.28}{0.36}approx0.78 d/λ1​=0.360.28​≈0.78

d / λ 2 = 0.28 0.34 ≈ 0.82 d/lambda_2=frac{0.28}{0.34}approx0.82 d/λ2​=0.340.28​≈0.82

F ( θ ) = cos ⁡ ( π 2 cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ ⋅ sin ⁡ ( 2 π sin ⁡ θ ) 6 sin ⁡ ( π 2 sin ⁡ θ ) F(theta)= frac{cos(frac{pi}{2}costheta)}{sintheta}cdot frac{sin(2pisintheta)} {6sin(frac{pi}{2}sintheta)} F(θ)=sinθcos(2π​cosθ)​⋅6sin(2π​sinθ)sin(2πsinθ)​

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